3月20日消息,3月18日,《張朝陽的物理課》第三十六期開播,搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間,回歸經典力學,推導空間站的飛行軌道等問題。
復習第一、第二宇宙速度 計算同步衛(wèi)星軌道半徑
為便于理解,在本次直播中張朝陽先帶網友復習了第一、第二宇宙速度的計算,并且介紹了同步衛(wèi)星的概念。為此,張朝陽先根據牛頓第二運動定律F=ma寫出衛(wèi)星做圓周運動的方程:
張朝陽解釋道,做勻速圓周運動的物體,其速度大小雖然沒有改變,但是速度的方向是在不斷變化的,因此這個物體具有加速度。首先,角速度是角度隨時間的變化率,而速度等于角速度與半徑的乘積:
他畫指示圖來進行說明:
(張朝陽在直播中推導圓周運動加速度公式)
在一個很小的時間間隔上,速度的改變量指向圓心,它的大小等于速度乘以角度改變量。除以dt就可以得到加速度的公式:
將此加速度公式代回衛(wèi)星圓周運動方程,化簡可得衛(wèi)星的速度:
G和M分別是萬有引力常數和地球質量。隨后,他在白板上演示了如何通過“黃金代換公式”將G和M換成更常見的物理量。為此,張朝陽考慮了地球表面的萬有引力:mg=GMm/R^2,這里R表示地球半徑,m表示地球表面附近物體的質量,g表示地球表面附近的重力加速度。于是有GM=gR^2。將這個結果代回衛(wèi)星速度公式就得到:
張朝陽介紹,第一宇宙速度就是地球表面附近的衛(wèi)星繞著地球做圓周運動時的速度。此時 r近似為R,于是得到第一宇宙速度公式:
這個速度的值是7.9km/s。而對于地球同步衛(wèi)星,其公轉周期與地球自轉周期相同,即其公轉角速度應等于地球的自轉角速度。張朝陽將速度換成角速度乘以軌道半徑,于是得到:
代入地球自轉角速度、地表附近重力加速度、地球的半徑等數值,張朝陽算得同步衛(wèi)星軌道半徑約為42600 km。“所以,為了保證衛(wèi)星同步轉動,其運行的軌道半徑必須為四萬兩千多公里。” 張朝陽總結道。
接下來,張朝陽繼續(xù)介紹了第二宇宙速度。所謂第二宇宙速度,就是物體從地球表面出發(fā)逃逸到無窮遠處至少所需的初速度。
他先考慮了物體沿徑向運動的情況。假設物體剛好以第二宇宙速度從地球表面沿徑向逃逸,到了無窮遠處這個物體的速度必須是零,否則它的初速度就不是最低要求的速度了。這時候引力做的功剛好抵消掉物體的動能,于是有:
于是得到第二宇宙速度公式:
這個速度大小是11.2 km/s。推導這個結果時考慮的是徑向運動,因此張朝陽提了一個問題,如果物體以這個速度從切線方向飛出,那它還能不能逃逸到無窮遠處呢?他介紹,這個問題將在下一次課程直播中解答。
推導萬有引力下的能量守恒 解釋衛(wèi)星動能勢能總和不變
隨后,張朝陽又進行了萬有引力下的能量守恒定律的推導,揭示衛(wèi)星在引力場中的總能量由動能和引力勢能兩部分組成,衛(wèi)星運動期間總能量保持不變??紤]到情況的普遍性,張朝陽使用了矢量分析的工具來進行推導。當物體在引力場中運動了一小段距離時,引力場做的功是:
其中矢量er是徑向單位矢量。張朝陽給網友們詳細演示了如何對此式進行化簡:
于是萬有引力做的功可以化為:
又因牛頓第二運動定律:
于是得出:
張朝陽解釋道,括號里邊的值就是總能量。在物體運動過程中,總能量的改變量為0,這就是引力場下的能量守恒定律。總能量表達式中的第一項是物體的動能,帶負號的第二項是它的引力勢能。
(張朝陽推導引力場下的能量守恒定律)
推導萬有引力下的衛(wèi)星軌跡 計算橢圓軌道時的極值距離
在地球引力下,衛(wèi)星是如何運行的?張朝陽繼續(xù)進行推演。首先,他引入了極坐標,并作如下推導:
其中上標的撇號表示對時間求導。該推導需結合張朝陽直播所畫的示意圖來理解。
(張朝陽推導所用圖示)
結合萬有引力下的牛頓第二定律:
對比徑向分量和角向分量立即得到:
于是r^2θ’是常數,張朝陽將其記為a。他解釋道,θ’是單位時間經過的角度,r^2θ’/2就是衛(wèi)星連接地球中心的線段在單位時間內掃過的面積,這個面積是一個常數,這就是開普勒第二定律。
利用這個常數可以消去角度對時間的導數,從而根據上面的第一個式子得到:
為求解這個方程,張朝陽引入了新的變量y=1/r,并且將對時間的導數化為對角度的導數:
將這個結果代入上面關于r的方程立即得到:
他強調,這是一個很簡單的方程,其通解為y=A cos(θ+θ0)+ GM/a^2,其中A>0。并且,可以重新選取角坐標的原點使 θ0=0,將y代回到原形式1/r,可得:
張朝陽解釋,這正是極坐標下橢圓、拋物線或者雙曲線的方程,也就是說衛(wèi)星的運行軌跡只能是這三種曲線中的一種。據此,可以計算當運動軌跡為橢圓時的近地點距離和遠地點距離。軌跡上離地球最近的距離是1/(A+B),最遠的距離是1/(B-A)。
(張朝陽推導出衛(wèi)星的軌跡)
據悉,在下節(jié)課中,張朝陽將會就空間站軌道的穩(wěn)定性——當運行軌道受到干擾時,會發(fā)生怎樣的改變進行推導解答。
截至目前,《張朝陽的物理課》已直播三十余期。張朝陽1986年從清華大學物理系畢業(yè),并于同年考取李政道獎學金赴美留學。1993年底在美國麻省理工學院(MIT)獲得博士學位,并繼續(xù)在MIT從事博士后研究,1996年回國創(chuàng)業(yè)。
這也是闊別物理20多年后,張朝陽重拾物理。從去年11月開啟第一節(jié)物理直播課,他先是從經典物理學開始,科普了牛頓運動定律與能量動量守恒原理等;而后從經典物理的“兩朵烏云”說起,向近現代物理過渡,探討了由黑體輻射研究引出的維恩、瑞利-金斯、斯特潘、普朗克等系列公式。
此后的物理課程逐步進入量子力學領域,從基礎的薛定諤方程、算符對易關系等理論內容,到無限深勢阱、氫原子波函數,再到諧振子量子化、氣體定容比熱的溫度階梯等更加具體實用的案例。
據悉,除了《張朝陽的物理課》外,在直播方面,搜狐視頻正持續(xù)打造知識直播平臺,陸續(xù)邀請各領域的頭部播主入駐,進行科普知識直播。
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